یکی از مفاهیم جذاب ریاضی که در عمر کوتاه خود، کاربردهای مختلفی پیدا کرده است، مفهوم «موجک‌» یا همان Wavelet است. در این نوشته، به دلیل تخصصی بودن و محض بودن این مفهوم، نمی‌خواهم تعریف ریاضی آن را بیان کنم و فقط به همین بسنده می‌کنم که این نظریه، با مفهوم سری‌های نامتناهی و آنالیز فوریه در ریاضی در ارتباط است؛ اما می‌خواهم شما را با چند کاربرد جالب آن آشنا کنم.

موجک‌ها و اثر انگشت

موجک‌ها و اثر انگشت

برای سالیان متمادی، سازمان اف‌بی‌آی آمریکا، اثر انگشت افراد را با فرمت کاغذی و در ساختمانی با درجه امنیتی بالا در واشینگتن نهگداری می‌کرد. آن‌ها از فضایی به اندازه یک زمین فوتبال برای این کار استفاده می‌کردند. اگر یکی از کارکنان نیاز داشت تا اثر انگشتی را در سان‌فرانسیسکو با اثر انگشت ذخیره‌شده در واشینگتن مقایسه کند، می‌بایست آن را به شکل نامه به واشینگتن می‌فرستاد. علاوه بر این، کار مقایسه دو اثر انگشت، دشوار بود؛ بنابراین، این فرایند به کندی پیش می‌رفت. به خاطر همین، اف‌بی‌آی در پی روش‌هایی برای ذخیره الکترونیکی اثر انگشت بود. این کار باعث سادگی انتقال داده‌ها و جستجوی آن‌ها در آرشیو می‌شد.

اثر انگشت را می‌توان به عنوان یک تصویر کوچک در نظر گرفت؛ بنابراین طبیعی است که آن را به اینچ‌-مربع‌های ۲۵۶×۲۵۶ تقسیم کرد و به هر کدام، یک درجه خاکستری با مقیاس از صفر (کاملاً سفید) تا ۲۵۶ (کاملاً سیاه) داد. با این کار می‌توان داده‌های اساسی را به شکل دنباله‌ای از زوج‌های مرتب (زوج‌هایی شامل شماره پیکسل‌ها و درجه خاکستری آن‌ها) نوشت. دقت داشته باشید که از نظر ریاضی، یک عکس شامل دنباله‌ای از زوج‌‌های مرتب از اعداد است که مولفه اول آن‌ها، شماره پیکسل‌ها و مولفه دوم، شدت نور را نشان می‌دهد. روشن است که کیفیت این کار، بستگی به اندازه پیکسل‌ها دارد. شکل زیر را ببینید.

موجک‌ها و اثر انگشت

حال این دنباله می‌تواند به راحتی ذخیره و به شکل الکترونیکی ارسال شود؛ یعنی می‌تواند در صورت لزوم به سان‌فرانسیسکو فرستاده شده و با یک اثر انگشت تازه در آنجا مقایسه شود.

مشکل باقیمانده دیگر، حجم آرشیو بود. با دقت و صحت قابل قبولی، این فرایند، هر اثر انگشت را به شکل دنباله‌ای از اعداد که حدود ۱۰ مگابایت حافظه اشغال می‌کند، نمایش می‌دهد. اف‌بی‌آی بیش از ۳۰ میلیون اثر انگشت (هر کدام شامل ۱۰ انگشت) دارد و هر روزه بیش از ۳۰ هزار اثر انگشت جدید دریافت می‌کند؛ بنابراین با مجموعه بسیار بزرگی از داده‌ها روبرو بود و لذا باید آن‌ها را فشرده می‌کرد.

اف‌بی‌آی شروع به جستجوی روش‌هایی برای فشرده‌سازی داده‌ها کرد و علاقه‌مند شد این کار را به وسیله موجک‌ها انجام دهد. در این روش، در بسیاری از موارد، برای نمایش یک اثر انگشت، تنها ۸ درصد داده‌های اصلی مورد نیاز واقع می‌شد. همان‌طور که می‌بینید، نتیجه کار، بسیار رضایت‌بخش بوده است.

حال بد نیست یک کاربرد ملموس‌تر را ببینیم. همان‌طور که می‌دانید، گروه تحقیقاتی jpeg در سال ۱۹۸۶ با هدف توسعه استانداردهای بین‌المللی برای فشرده‌سازی تصاویر تشکیل شد. یکی از اهداف اصلی آن، توانایی ارسال تصاویر بدون اشغال حجم زیاد است. انتقال (با کیفیت خوب) یک عکس رنگی شامل ۷۶۸×۱۰۲۳ پیکسل، ۱۲ مگابایت حافظه نیاز دارد. با استفاده از خط اینترنت ۱ گیگابایت، ارسال این تصویر، ۰٫۱ ثانیه زمان می‌برد؛ در حالی که اگر سرعت، ۶۴ کیلوبایت باشد، حدود ۷ دقیقه طول می‌کشد؛ بنابراین در این وضعیت، کار فشرده‌سازی برای به دست آوردن نتایج بهتر، لازم می‌شود. اینجاست که دوباره موجک‌ها وارد گود می‌شوند.

موجک‌ها و اثر انگشت

حال به سنگاپور می‌رویم؛ جایی که از سال ۲۰۰۳، یک سیستم امنیتی جدید در برج هیتاچی که یک ساختمان اداری با ۳۷ طبقه است، به کار برده شده است. در ورودی این برج، ۱۵۰۰ کارمند با اسکن آثار انگشتان خود وارد ساختمان می‌شوند. اسکنر از اشعه مادون قرمز برای اندازه‌گیری هموگلوبین خون موجود در رگ‌های انگشتان استفاده می‌کند که مشخصه منحصر به فرد هر فرد است. بعد از مقایسه داده اسکن‌شده با نسخه الکترونیکی موجود در آرشیو، درباره اینکه چه کسی می‌تواند وارد شود یا نه، تصمیم‌گیری می‌شود.

موجک‌ها و اثر انگشت

در این نوع سیستم‌ها، ضروری است که داده‌های اسکن‌شده با کمترین بیت‌های ممکن در حافظه ذخیره شوند. همچنین وجود الگوریتم‌ سریعی برای استخراج داده‌های اساسی از انگشتان اسکن‌شده در مورد اینکه چه افرادی می‌توانند وارد ساختمان شوند، ضروری است. موجک‌ها هر دو مورد را کاملاً پوشش می‌دهند.

موجک‌ها و انتقال فرکانس

کاربرد دیگر نظریه موجک‌ها، در انتقال فرکانس است. در سال ۱۸۸۹، Johannes Brahms که یک آهنگساز بود، قطعه‌ای موسیقی را با پیانوی خود اجرا کرد و آن را ضبط کرد. متاسفانه این موسیقی ضبط‌شده، به حدی نویز داشت که شنیدن چیزی که نواخته شده بود، واقعاً مشکل بود. سال‌ها بعد، دو فرد به نام‌های Berger و Nichols، با استفاده از روش‌های موجکی، این موسیقی را از نویز جدا کرده و آن را قابل شنیدن کردند. علاوه بر این، این دو نفر، به روش پیانو نواختن Brahms پی بردند. کار شگفت‌انگیزی که Brahms موقع نواختن انجام می‌داد، این بود که نت‌ها را خیلی نزدیک خود قرار نمی‌داد و بنابراین به خودش آزادی عمل در هنگام اجرای نت‌ها می‌داد.

همان‌طور که دیدیم، یک مفهوم محض ریاضی، می‌تواند انجام خیلی از کارها را ساده‌تر کند؛ پس کاربردهای ریاضی، فقط آن ایکس و ایگرگ‌هایی نیست که در درس‌های ریاضی مدام با آن سر و کار داریم.

منبع: کتاب «نظریه تقریب از چند جمله‌ای‌های تیلور تا موجک‌ها»
لینک ثابت: http://panevis.ir/?p=847

 

این نوشته را به اشتراک بگذارید: